4 pasos para sacar el area y volumen de un cubo

Raíces cuadradas y cúbicas

Comencemos el estudio de las raíces haciéndonos la siguiente pregunta. Si el área de un cuadrado es 15 cm2, ¿cuál es su lado?
Para responder esto debemos encontrar un número cuyo cuadrado sea 15. Este número se denomina raíz cuadrada de 15 y es aproximadamente 3,8729.
Si generalizamos lo anterior podemos afirmar que:
Si a es un número positivo entonces b es positivo; por lo tanto y no ±3 como erróneamente se

cree. Por otro lado la igualdad: se cumple solo si x>0, ya que si tenemos esto no es

igual a –3 ya que sería contradictorio con lo anterior; por lo tanto, la propiedad es: ,para cualquier valor real de x.

Si a es un número negativo, entonces no es un número real.

Si la raíz es cúbica, tenemos que:

En este caso, si a es negativo b resulta ser negativo y si a es positivo, b también; por lo tanto, la raíz cúbica está definida para todo número real.

En general, las raíces se pueden definir mediante una potencia de exponente fraccionario:

Definición:



Donde n se denomina el índice de la raíz, y como vimos anteriormente, cuando no aparece se entiende que su valor es dos (raíz cuadrada).

Esta definición está sujeta a las restricciones que vimos en el párrafo anterior, es decir, las raíces de índice par están definidas para números no negativos y las de índice impar están definidas para todo número real.

Debido a que las raíces pueden convertirse a potencias de exponente fraccionario, cumplen con todas las propiedades de potencias que estudiamos en el módulo anterior; de estas se pueden deducir las siguientes propiedades de raíces.

1. PROPIEDADES DE LAS RAÍCES

i. Multiplicación de raíces de igual índice
ii. División de raíces de igual índice

iii. Raíz de raíz



iv. Raíz de una potencia de exponente igual al índice



v. Ingreso de un factor en una raíz

: con a > 0 si n es par

Veamos a continuación la demostración de algunas de las propiedades para que veas su analogía con las propiedades de las potencias.

Demostración de (i):

Demostración de (v):


2. OPERATORIA CON RAÍCES
Adición y sustracción de raíces semejantes
Se llaman raíces semejantes cuando tienen la misma cantidad subradical; por ejemplo son raíces semejantes y se pueden sumar y/o restar:

En el caso de querer sumar o restar raíces no semejantes, se debe descomponer las cantidades subradicales para convertirlas a raíces semejantes.
Ejemplo: Reducir la expresión
Solución: Se descomponen las cantidades subradicales para formar raíces semejantes.


Multiplicación y división de raíces de igual índice
En este caso aplicamos las propiedades 1 y 2 de las raíces.

Ejemplo:

?
Solución:
Multiplicación y división de raíces de distinto índice
En este caso es conveniente utilizar la propiedad de amplificación para igualar índices.
Ejemplo: ¿Cuál es el valor de=?
Solución: El m.c.m. de los índices es seis, entonces amplificamos para igualar los índices a seis:
Otra forma de resolver esta expresión es aplicar sólo las propiedades de potencias.

3. RACIONALIZACIÓN

La racionalización consiste en eliminar las raíces que se encuentran en el denominador de una fracción.z

Analizaremos a continuación los casos más importantes:
Caso 1: Una raíz cuadrada en el denominador, sin adiciones ni sustracciones.
Ejemplo: Racionalizar:

Caso 2: Una raíz cuadrada en el denominador, con adiciones o sustracciones.
Ejemplo: Racionalizar la fracción

Solución: Amplificamos la fracción por el binomio conjugado del denominador para formar una suma por diferencia:

IMAGEN

Una de las aplicaciones de la racionalización es que nos permite ordenar fracciones que tengan raíces en el denominador.
Ejemplo: Dados los números ¿Cuál es el orden de menor a mayor?

Solución: Racionalizamos cada una de las fracciones y comparamos los resultados.

IMAGEN
Comparando los resultados se concluye que: y < x < z